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Après le célèbre Théorème de Pythagore, le theoreme de thales est le second plus grand Théorème que l’on apprend au collège. Le théorème et sa réciproque permettent d’effectuer un calcul de longueur ainsi que de démontrer le parallélisme de deux droites. Si les enseignants en Collège prennent le temps d’apprendre les principes de ce théorème en cours, vous avez toujours la possibilité d’anticiper et d’apprendre le fonctionnement à votre ado. Voici tout ce que vous devez savoir sur le théorème de Thalès.
Formule du Théorème de Thalès
La propriété du theoreme de thales affirme que lorsque deux droites sécantes se coupent à un point par deux droites parallèles, les longueurs sur le coté d’un triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du second triangle.
Pour être plus clair, si A, B, C, D, E sont des points avec les spécificités suivantes : (AB) et (DE) sont parallèles et (AD) et (EB) sont sécantes en C selon l’image qui suit :
On peut alors affirmer que : [AC] / [DC] = [BC] / [EC] = [AB] / [DE]. L’écriture consiste à mettre dans la partie numérateur un coté du triangle le plus petit et au dénominateur un coté du triangle le plus grand. Ce théorème est indispensable en mathématique, dès le collège il faut l’assimiler et jusqu’au lycée. Les étudiants préparants le bac S ou ES se doivent d’assimiler.
Quand appliquer le Théorème de Thalès ?
Le theoreme de thales s’applique suivant deux situations distinctes. Cependant, la formule reste similaire pour les deux cas. Quand 2 droites sécantes sont coupées par 2 droites parallèles, deux triangles en résultent.
Dans la première figure, l’un des triangles est un intégré dans l’autre. Tandis que dans la seconde figure, les deux triangles forment un genre de sablier.
Pour les deux figures distinctes, nous allons nous intéresser particulièrement aux deux droites parallèles afin de pouvoir calculer la longueur d’un segment en appliquant le théorème.
Comment présenter le théorème ?
Pour présenter le théorème de Thalès, nous allons faire des illustrations en utilisant la figure montrée plus tôt.
Les données
Dans la configuration ci-dessus, prenons les mesures suivantes :
- DC = 3 cm ;
- AC = 5 cm ;
- ED = 4 cm ;
- BC = 4 cm.
L’exemple consiste à déterminer les longueurs EC et AB.
L’application du Théorème
Pour commencer, énoncer le Théorème en exposant l’équation des rapports. Les longueurs connues sont par la suite remplacées par leur valeur suivant les données dans l’énoncé. Rayer l’équation inutile. Puis effectuer un produit en croix.
On a : D appartient à la droite (AC) et E appartient à la droite (BC), avec (ED) et (AB) parallèles. D’après le Théorème de Thalès, DC / AC = DE / AB = EC/BC. Si l’on change les valeurs par les données de l’énoncé, on a alors 3 / 5 = 4 / AB = EC / BC.
Le produit en croix donne alors 3 × AB = 4 × 5 = 20 ce qui signifie que AB = 20 / 3 ; pour le calcul de EC, on peut aussi prendre l’équation 3 × 4 = 5 × EC donnant 12 = 5 × EC donc EC = 12 / 5 = 2.4.
Le Théorème de Thalès pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
Le theoreme de thales est également utilisé dans le sens inverse pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles, à l’aide de l’absence d’égalité. Pour expliquer, on va également prendre un exemple. Utilisons la figure ci-dessous :
Pour la figure donnée, prenons les valeurs suivantes : DA = 4 cm ; AC = 10 cm ; AE = 2 cm ; DE = 3 cm ; BC = 7 cm. Démontrons que (DE) et (BC) ne sont pas parallèles.
On a DA / AC = 4 / 10 et DE / BC = 3 / 7, ce qui donne 3 × 10 = 30 et 7 × 4 = 28. On peut alors en conclure que les produits en croix sont différents. D’après les conséquences du Théorème de Thalès, on peut dire que les deux droites (DE) et (BC) ne sont pas parallèles. C’est une formule que l’on doit comprendre pour le théorème de Thalès. De plus on doit faire des exercices pour mieux assimiler le tout.
Quelle est la réciproque du théorème de Thalès ?
La réciproque du théorème de Thalès démontre que deux droites sont parallèles. Nous allons comme précédemment utiliser un exemple concret pour vous éclaircir.
Sur la figure, on va prendre les données qui suivent : CD = 4 cm ; AC = 5cm ; CE = 6 cm et BC = 7.5 cm. Démontrons que (AB) et (TE) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès, on a CD / AC = 4 / 5 et CE / BC = 7.5 ce qui donne 4 × 7.5 = 30 et 6 × 5 = 30 donc CD/AC = CE/BC. De plus, A, D, C et B, E, C sont alignés. Les deux droites sont alors parallèles.
