Bien comprendre le cercle trigonométrique

Sommaire

Les premières notions de trigonométrie sont apprises dès la classe de 3e. Les élèves découvrent ainsi : le cosinus, le sinus et la tangente. En ce qui concerne le cercle trigonométrique, les points essentiels ne sont abordés qu’en classe de seconde, avec une étude approfondie en 1ère scientifique.

En mathématiques, le cercle trigonométrique est le cercle de centre à l’origine du plan euclidien \\R^2 et de rayon 1.

Ce cercle est habituellement utilisé en trigonométrie et il est souvent orienté dans le sens direct ou sens trigonométrique, c’est-à-dire dans le sens inverse du sens de rotation des aiguilles d’une montre. Ce sens a été choisi par les astronomes, parce qu’il correspond à la rotation de la Terre ; c’est-à-dire le sens dans lequel les étoiles semblent défiler pour un observateur sur Terre.

Qu’est-ce-que le cercle trigonométrique ?

En mathématiques, le cercle trigonométrique est un cercle qui permet d’illustrer et de définir des notions comme celles d’angle, de radian et les fonctions trigonométriques : cosinus, sinus, tangente. Il s’agit du cercle dont le rayon est égal à 1 et qui est centré sur l’origine du repère, dans le plan usuel muni d’un repère orthonormé. En mathématiques, ce cercle est très utilisé, mais surtout à partir du collège tout comme les identités remarquables .. Il sert de base à plusieurs calculs.

Comment lire le cercle trigonométrique ?

Les sommets des angles sont le centre du cercle, avec un côté confondu avec la ligne de l’axe des abscisses. Les angles sont orientés, c’est à dire qu’ils peuvent être positifs ou négatifs :

Positifs lorsqu’en partant toujours de l’axe des abscisses, l’angle tourne dans le sens direct ;
Négatifs quand ils sont dirigés dans le sens indirect.

Comme le cercle a pour rayon 1, son périmètre vaut 2π. Un angle en radians correspond à la longueur de l’arc de cercle sur le cercle trigonométrique.

Comment placer un point sur le cercle ?

Pour placer un point associé à un réel sur le cercle trigonométrique, il faut tout d’abord déterminer la mesure principale associée à ce point, puis convertir l’angle en degré pour pouvoir le placer à l’aide d’un rapporteur. C’est une figure assez simple à faire, mais qui requiert divers calculs.

Déterminer la mesure principale de l’angle

Pour obtenir la mesure principale de l’angle appartenant à]-π ; π], il faudra rajouter ou retrancher 2π un certain nombre de fois.

Si le réel est supérieur à π, on retranche 2π un certain nombre de fois ;
Si le réel est inférieur à π, on rajoute 2π un certain nombre de fois.

Déterminer le signe de la mesure de l’angle

Déterminer le signe de l’angle principal obtenu :

Si le signe est positif, le point ira se placer en allant dans le sens direct sur le cercle trigonométrique ;
Si le signe est négatif, le point ira se placer en allant dans le sens indirect sur le cercle trigonométrique.

Le point ira donc se placer en allant dans le sens direct sur le cercle trigonométrique.

Placer le point

Pour placer le point, il faut convertir la mesure principale de l’angle en degrés.

Pour ce faire, on sait que π radians équivaut à 180°. L’angle x vaut ainsi en degrés :

Exemple :

On sait que π radians équivaut à 180°.

Comment lire en radian sur le cercle trigonométirqque ?

Avec un rayon équivalent à 1, le périmètre du cercle est de 2π. Un angle ayant fait le tour complet du cercle, a une valeur de 2π radians, ce qui implique qu’un quart de tour est de π/2 radians. Les quarts de tours sont coupés en 2 angles égaux pour obtenir les mesures π/4 et 3π/4, puis en 3 angles égaux pour obtenir les mesures π/6, π/3, 2π/3 et 5π/6.

Pour faciliter la lecture des valeurs d’un cercle en radians, on peut alors :

Tracer deux lignes perpendiculaires : la ligne horizontale pour l’abscisse (x) et la verticale pour l’ordonnée (y);
Placer un cercle, avec un centre correspondant au point d’intersection des deux lignes ;
Découper le cercle en quatre parties égales pour mesurer les radians. Un cercle complet représente 2π ;
Placer 4 points radians sur les 4 points d’intersection des lignes sur le cercle : 0, π/2, π, 3π/2 et 2 π ;
Diviser les quarts de cercle en deux pour avoir cette fois 8 parts égales du cercle ;
Inscrire les valeurs au niveau des intersections : π/4, 3π/4, 5π/4 et 7π/4.

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